Løysingsforslag S1 - våren 2025

Her er eit forslag til løysing av våreksamen i S1 2025. I del 2 er oppgåvene stort sett Python brukt som hjelpemiddel, sidan det finns så mange “vanlege” løysingsforslag på nett… 🐍

Eg kan ikkje lova at løysinga er feilfri… 😊 Gje meg gjerne ein lyd i kommentarfeltet eller her om du ser feil 🔍

Sist oppdatert: 19.09.2025

Eksamenssettet finn du hos UDIR: Finn eksamensoppgaver

Tips

I menyen til høgre kan finn du løysingsforslaget som pdf!

Del 1 - utan hjelpemiddel

Oppgåve 1

Deriver funksjonen

\[ \begin{align*} f(x) &= e^{-2x} + \frac{1}{5} x^5 - 2\pi \\ \ \\ f'(x) &= -2 e^{-2x} + x^4 \end{align*}\]

(kjerneregel, polynomderivasjon og konstantregel)

Oppgåve 2

Funksjonen \(g\) gitt ved \[ g(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 \]

a) nullpunkt

Set \(g(x)=0\) og løyser. Veit at \(e^x \neq 0\) for alle \(x\in \mathbb{R}\). Dermed må

\[ \begin{align*} (2x-1)^2 &= 0 \\ 2x-1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \frac{1}{2} \end{align*}\]

b) den deriverte

Lar \(u=e^x \Rightarrow u'=e^x\) og \(v=(2x-1)^2 \Rightarrow v'=2(2x-1)\cdot 2 = 4(2x-1)\).

Dermed blir

\[ \begin{align*} g'(x) &= \frac{1}{2} (uv)' \\ &= \frac{1}{2} (u'\cdot v + u\cdot v' ) \\ &= \frac{1}{2} \left(e^x \cdot (2x-1)^2 + e^x\cdot 4(2x-1)\right) \\ &= \frac{1}{2} e^x(2x-1)\left((2x-1) + 4\right) \\ &= \frac{1}{2} e^x(2x-1)(2x+3) \\ \end{align*}\]

som skulle visast.

c) Topp og botnpunkt

Sjekkar når \(g'(x)=0\). Igjen er \(e^x \neq 0\) for alle \(x\in \mathbb{R}\).

\[ \begin{align*} g'(x) &= 0 \\ \frac{1}{2} e^x(2x-1)(2x+3) &= 0 \\ 2x-1=0 \quad &\vee \quad 2x+3=0 1 \\ x = \frac{1}{2} \quad &\vee \quad x = - \frac{3}{2} \end{align*}\]

Teiknar forteiknslinje:

Ser at \(g\) har toppunkt i \(x=-\frac{3}{2}\) og botnpunkt i \(x=\frac{1}{2}\).

Set inn verdiane i \(g(x)\) for å finna y-koordinatane til dei to punkta

Toppunkt
\[ \begin{align*} g\left(-\frac{3}{2}\right) &= \frac{1}{2}e^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(2\left(-\frac{3}{2}\right)-1\right)^2 \\ &= \frac{1}{2}e^{-\frac{3}{2}} (-4)^2 \\ &= 8e^{-\frac{3}{2}} \\ \end{align*}\]

Toppunkt i \(\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-\frac{3}{2}}\right)\)

Botnpunkt
\[ \begin{align*} g\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}} \cdot \left(2\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)^2 \\ &= \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}} (0)^2 \\ &= 0\\ \end{align*}\]

Botnpunkt i \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)

Oppgåve 3

Løys likningane

a) eksponentiallikning

\[ \begin{align*} 3^{3x+2}-5 &= 76 \\ 3^{3x+2} &= 81 = 9^2=3^4 \\ 3x+2 &= 4 \\ x &= \frac{2}{3} \end{align*}\]

b) logaritmelikning

\[ \begin{align*} 3\lg(x)+2\lg(x^2) + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right)&=2 \\ 3\lg(x)+4\lg(x) + \lg(x^{-9})&=2 \\ 3\lg(x)+4\lg(x) -9 \lg(x)&=2 \\ -2 \lg(x) &= 2 \\ \lg(x) &= -1 \\ x &= 10^{-1} = 0,1 \end{align*}\]

Oppgåve 4

Bestem grenseverdiane

a) grenseverdi

Ser at om me set inn \(0\) vil me få \(0\) i nemnar, men ikkje i teljar. Dvs. me er ikkje i ein situasjon der både teljar og nemnar går mot 0 samstundes. Ser på dei einsidige grenseverdiane.

I begge dei to tilfella vil \(3(x^2-3) \to 18\) når \(x \to 3\)

Når \(x \to 3^-\) vil nemnaren vera negativ. Dermed går brøken mot \(-\infty\).

Når \(x \to 3^+\) vil nemnaren vera positiv. Dermed går brøken mot \(\infty\).

Dei einsidige grenseverdiane eksisterer ikkje, heller ikkje grenseverdien til uttrykket.

b) grenseverdi

\[\begin{align*} \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \\ &= \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4}+2} \\ &= \frac{1}{2+2} \\ &= \frac{1}{4} \end{align*} \]

Oppgåve 5

Arne skyt tre skot. Treff på 80% av skota sine. Antek skota er uavhengige av kvarandre.

Me let \(X\) vera talet skot Arne treff på. Me kan gå ut frå at \(X\) er binomisk fordelt sidan

Skota (delforsøka) er uavhengige av kvarandre
Kvart skot har to mogleikar (treff eller ikkje treff).
Sannsynet for å treffa er likt i alle delforsøka, \(p=0.8\).

a) Dei to første skota

Treff og treff: \(0.8 \cdot 0.8 = 0.64\)

Det er 64% sannsyn for at Arne treff på begge dei to første skota.

b) Nøyaktig to av tre skot

Bruker formelen for binomisk sannsyn:

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Der \(n\) er totalt antal skot, \(k\) er antal treff, og \(p\) er sannsynet for treff.

Her er \(n=3\), \(k=2\) og \(p=0.8\).

\[ \begin{align*} P(X=2) &= \binom{3}{2} (0.8)^2 (0.2)^{3-2} \\ &= 3 \cdot 0.64 \cdot 0.2 \\ &= 3 \cdot 0.128 \\ &= 0.384 \end{align*} \]

Det er 38.4% sannsyn for at Arne treff på nøyaktig to av dei tre skota.

c) Høgst eitt av tre skot

Me har sannsynet for nøyaktig to treff frå oppgåve b). Sannsynet for at han treff på alle tre skota er \(0.8^3 = 0.512\).

Dermed er sannsynet for at han treff på minst to skot \(0.384 + 0.512 = 0.896\).

Sannsynet for at han treff på høgst eitt skot er dermed \(1 - 0.896 = 0.104\).

Det er 10.4% sannsyn for at Arne treff på høgst eitt av dei tre skota.

Oppgåve 6

Funksjonane \(f\) og \(g\) er gitt ved

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x < 0 \\ 2e^x, & x \geq 0 \end{cases} \]

\[ g(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ 2e^x, & x > 0 \end{cases} \]

a) f i x = 0

Skal sjekka om \(f\) er kontinuerleg i \(x=0\). For at ein funksjon skal vera kontinuerleg i eit punkt, må

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \]

Ser på dei einsidige grenseverdiane.

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2 \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2e^0 = 2 \\ \end{align*} \]

Sidan dei einsidige grenseverdiane er like, og \(f(0) = 2\), er \(f\) kontinuerleg i \(x=0\).

b) g i x = 0

Ser at dei einsidige grenseverdiane er dei same som for \(f\) i oppgåve a). Her er i tillegg \(g(0) = 1\). Dermed er ikkje \(g\) kontinuerleg i \(x=0\).

Del 2 - med hjelpemiddel

Oppgåve 1

Kodelås med tre tal. 7, 8, 9 og 0 er ikkje med.

a) Gjette på første forsøk

# Ulike kombinasjonar
komb = 6**3

# Sannsyn for å gjette rett på første forsøk
sannsyn = 1/komb

# Skriv ut resultatet
print(f"P(første forsøk) = {sannsyn:.4f}")

P(første forsøk) = 0.0046

b) Simulering - første forsøk

Lagar eit program som simulerer 10 000 forsøk på å knekka kodelåsen og tel opp kor mange gonger ein gjett rett på første forsøk.

# Set opp sannsynsgenerator
import numpy as np
rng = np.random.default_rng()

# Antal forsøk
N = 100000

# Rett kode
rett_kode = [1, 2, 3]

# Teljar for kor mange gonger me gjett rett på første forsøk
første_forsøk = 0

for forsok in range(N):
    # Generer ein tilfeldig kode
    gjetta_kode = rng.integers(1, 7, size=3).tolist()
    
    # Sjekk om den gjettede koden er lik den riktige koden
    if gjetta_kode == rett_kode:
        første_forsøk += 1

# Sannsyn for å gjette rett på første forsøk
sannsyn = første_forsøk / N

# Skriv ut resultatet
print(f"P(første forsøk) = {sannsyn:.4f}")

P(første forsøk) = 0.0046

Oppgåve 2

Funksjon \(f\) med delt forskrift. Ser ikkje heile funksjonsuttrykket.

\[ f(x) = \begin{cases} -9x - 15, & x < -2 \\ ???, & -2 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^2}{2} - x - \frac{7}{2}, & x > 1 \end{cases} \]

Veit at

\(f\) er kontinuerleg for alle \(x \in \mathbb{R}\)
midterste uttrykk er eit tredjegradspolynom
\(f'(-2) = -9\) og \(f'(1)=0\)

Det midterste uttrykket må vera eit tredjegradspolynom, dvs. av typen \[ ax^3 + bx^2 + cx + d \]

Veit at \(f\) er kontinuerleg i \(x=-2\) og \(x=1\). Dermed må \[ \begin{align*} \lim_{x \to -2^-} f(x) &= \lim_{x \to -2^+} \\ (-9(-2) - 15) &= a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d \\ 3 &= -8a + 4b - 2c + d \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 1^-} f(x) &= \lim_{x \to 1^+} f(x) \\ a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d &= \frac{1^2}{2} - 1 - \frac{7}{2} = -4 \\ a + b + c + d &= -4 \end{align*} \]

I tillegg veit me at \(f'(-2) = -9\) og \(f'(1)=0\). Deriverer det midterste uttrykket:

\[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]

Dermed må \[ \begin{align*} f'(-2) &= -9 \\ 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c &= -9 \ 12a - 4b + c &= -9 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} f'(1) &= 0 \\ 3a(1)^2 + 2b(1) + c &= 0 \\ 3a + 2b + c &= 0 \end{align*} \]

Løyser likningssettet i CAS:

# Importerer bibliotek
from sympy import symbols, Eq, solve

# Definerer symbolene a, b, c, d
a, b, c, d = symbols('a b c d')

# Definerer likningane
eq1 = Eq(-8*a + 4*b - 2*c + d, 3)  # Kontinuitet i x = -2
eq2 = Eq(a + b + c + d, -4)         # Kontinuitet i x = 1
eq3 = Eq(12*a - 4*b + c, -9)        # f'(-2) = -9
eq4 = Eq(3*a + 2*b + c, 0)          # f'(1) = 0

# Løyser likningssettet
solution = solve((eq1, eq2, eq3, eq4), (a, b, c, d))

# Skriv ut løysinga
print("Løsning for a, b, c, d:")
print(solution)

Løsning for a, b, c, d:
{a: -13/27, b: 7/9, c: -1/9, d: -113/27}

Funksjonsuttrykket i det midterste intervallet er dermed \[ -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}\]

Oppgåve 3

Ti lappar med elevnamn. Trekk fire lappar med namn som skal vera med i ei gruppe.

a) Moglege samansettingar

Trekk fire elevar (utan tilbakelegging) frå ei gruppe på ti. Dette er ein kombinasjon, dvs. rekkjefølgja på elevane spelar ingen rolle.

from scipy.special import comb

n = 10  # Totalt antal elevar
k = 4   # Antal elevar som skal trekkast

kombinasjoner = comb(n, k, exact=True)
print(f"Antal moglege samansettingar: {kombinasjoner}")

Antal moglege samansettingar: 210

b) Minst to gutar

Sju av ti er jenter. Skal finna sannsynet for at gruppa har minst to gutar.

Dette kan me sjå på som eit hypergeometrisk forsøk. Me har totalt \(N=10\) elevar, der \(K=3\) er gutar og \(N-K=7\) er jenter. Me trekk \(n=4\) elevar utan tilbakelegging og vil finna sannsynet for at \(k \geq 2\) av dei er gutar.

Løyser ved simulering.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng()

elevar = 10
gutar = 3
jenter = elevar - gutar
gruppe = 4

#tal simuleringar
N = 1000000 

trekte_gutar = rng.hypergeometric(gutar, jenter, gruppe, size=N)

minst_to_gutar = np.sum(trekte_gutar >= 2)
sannsyn = minst_to_gutar / N
print(f"Sannsyn for minst to gutar: {sannsyn:.4f}")

Sannsyn for minst to gutar: 0.3336

c) Emma og Marie

Emma og Marie er to av jentene, skal finna sannsynet for at èi av dei to blir med i gruppa.

Hypergeometrisk forsøk som i (b) men me har “Emma og Marie” og “ikke Emma og Marie” som kategoriar der me hadde jenter og gutar tidlegare.

Løyser ved simulering.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng()

elevar = 10
emma_og_marie = 2
resten = elevar - emma_og_marie
gruppe = 4

#tal simuleringar
N = 1000000 

trekt_emma_og_marie = rng.hypergeometric(emma_og_marie, resten, gruppe, size=N)

minst_ei = np.sum(trekt_emma_og_marie == 1)
sannsyn = minst_ei / N
print(f"Sannsyn for minst ei av jentene Emma og Marie: {sannsyn:.4f}")

Sannsyn for minst ei av jentene Emma og Marie: 0.5336

Oppgåve 4

Me trekk ut 10 tilfeldige personar. Veit at det var ca. 11,3% som stemte på FrP. Kan bruka binomisk fordeling, viss me går ut frå at - stemma til dei 10 personane er uavhengige av kvarandre (trekt tilfeldig) - kvar person har to mogleikar (stemmer FrP eller ikkje) - sannsynet for å stemma FrP er likt for alle personane (sidan befokinga er stor).

a) Sannsyn for at minst 4 stemte FrP

Bruker ikkje simulering denne gongen, men direkte rekning med binomisk fordeling. binom.cdfer den kumulative fordelingsfunksjonen (som sannsynskalkulatoren i GeoGebra).

from scipy.stats import binom

n = 10  # Totalt antal personar
p = 0.113  # Sannsyn for å stemma FrP

# Sannsyn for at minst 4 stemte FrP
sannsyn = 1 - binom.cdf(3, n, p)  # P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3)

print(f"Sannsyn for minst 4 stemte FrP: {sannsyn:.4f}")

Sannsyn for minst 4 stemte FrP: 0.0195

b) Liten valkrets

No ser me på ein mindre populasjon (valkrets med 243 som stemte). Plukkar 10 personar tilfeldig her og. Vil finna sannsynet for at minste 4 stemte Ap. Ser at 100 av folka i kretsen stemte Ap.

No er det ikkje lenger rett å bruka binomisk fordeling sidan populasjonen er (relativt) liten. Me må bruka hypergeometrisk fordeling.

from scipy.stats import hypergeom
N = 243  # Totalt antal personar i valkretsen
K = 100  # Antal som stemte Ap
n = 10   # Antal personar som vert plukka

# Sannsyn for at minst 4 stemte Ap
sannsyn = 1 - hypergeom.cdf(3, N, K, n)  # P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3)
print(f"Sannsyn for minst 4 stemte Ap: {sannsyn:.4f}")

Sannsyn for minst 4 stemte Ap: 0.6498

Oppgåve 5

Prisfunksjon for kvar t-skjorte ved produksjon og sal av \(x\) t-skjorter er gitt ved:

\[p(x) = -0,001x^2 + 0,2x + 100\]

Kostandsfunkskjonen (totalt) kvar veke er gitt ved:

\[K(x) = 0,1x^2 + 8000\]

a) Maksimal inntekt

Inntektsfunksjonen er gitt ved \[ I(x) = x \cdot p(x) \]

Deriverer og finn størst mogleg inntekt med CAS (i sympy).

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')

# Pris- og inntektsfunksjonar
p = -0.001*x**2 + 0.2*x + 100
I = x * p

# Deriverer og finn kritiske punkt
I_deriv = diff(I, x)
kritiske_punkter = solve(I_deriv, x)

# Finn maksimal inntekt blant dei kritiske punkta
# x må vera ikkje-negativ
maks_inntekt = max(I.subs(x, punkt) for punkt in kritiske_punkter if punkt >= 0)

print(f"Maksimal inntekt: {maks_inntekt:.2f} kr")

Maksimal inntekt: 21944.62 kr

b) Maksimalt overskot

Overskotsfunksjonen er gitt ved \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

Deriverer og finn størst mogleg overskot med CAS (i sympy).

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')

# Pris-, inntekts- og kostnadsfunksjonar
p = -0.001*x**2 + 0.2*x + 100
I = x * p
K = 0.1*x**2 + 8000

# Overskotsfunksjon
O = I - K

# Deriverer og finn kritiske punkt
O_deriv = diff(O, x)
kritiske_punkter = solve(O_deriv, x)

# Finn maksimal overskot blant dei kritiske punkta
maks_overskot = max(O.subs(x, punkt) for punkt in kritiske_punkter if punkt >= 0)
print(f"Maksimalt overskot: {maks_overskot:.2f} kr")

Maksimalt overskot: 8192.64 kr

c) Donasjonar

Bedrifta donener 30kr per solgte t-skjorte. Skal finna det største talet t-skjorter dei må selja for å ikkje gå med underskot. Kan løysa dette på mange måtar, men eg legg til \(30x\) som ledd i kostnadsfunksjonen og finn nullpunktet til overskotsfunksjonen.

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')

# Pris-, inntekts- og kostnadsfunksjonar
p = -0.001*x**2 + 0.2*x + 100
I = x * p
K = 0.1*x**2 + 30*x + 8000

# Overskotsfunksjon
O = I - K

# Finn og skriv ut nullpunkt (for x>=0)
nullpunkt = solve(O, x)
print("Nullpunkt for overskotsfunksjonen:")
for punkt in nullpunkt:
    print(f"x = {punkt:.2f}")

Nullpunkt for overskotsfunksjonen:
x = -269.64
x = 117.82
x = 251.82

Ser at det maksimale talet t-skjorter dei kan selja utan å gå med underskot er 251.

Oppgåve 6

a) Modell

Les av nokre punkt frå grafen og bruker dei til å lage ein modell seinare. Lat \(x\) vera talet år etter 1998 og \(y\) verdien i milliardar kroner.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Data frå grafen
x_data = np.array([0, 6, 9, 12, 15, 21, 25, 26])
y_data = np.array([200, 1000, 2000, 3000, 5000, 10000, 15700, 19800])

# Teiknar punkta
plt.plot(x_data, y_data, 'o')

Ser at veksten er støøre og større, så ein eksponentiell kan passa godt. Brukar curve_fit frå scipy.optimize til å finna ein modell av typen \[ y = a b^x \]

from scipy.optimize import curve_fit
# Definerer den eksponentielle funksjonen
def eksponentiell(x, a, b):
    return a * b**x    

# Finnar dei beste parametra a og b
# Brukar p0 for å gi eit startestimat
params, _ = curve_fit(eksponentiell, x_data, y_data, p0 = (200,1.1))
a, b = params
print(f"Modell: y = {a:.2f} * {b:.4f}^x")

# Teiknar modellen saman med punkta
x_modell = np.linspace(0, 30, 100)
y_modell = eksponentiell(x_modell, a, b)
plt.plot(x_data, y_data, 'o', label='Data')
plt.plot(x_modell, y_modell, '-', label='Modell')
plt.xlabel('År etter 1998')
plt.ylabel('Milliardar kroner') 
plt.legend()
plt.show()

Modell: y = 614.33 * 1.1413^x

Modellen vil nok ikkje vera heilt nøyaktig, men den gir eit godt utgangspunkt for å forstå utviklinga. Samstundes vil han ikkje vera god for å gjera spådommar langt fram i tid, sidan veksten nok vil avta i forhold til modellen (som er veldig bratt etter kvart).

b) verdi og vekstfart

Bruker den oppgitte modellen for verid t år etter 1998:

\[ V(t) = 330 \cdot 1.1787^t \]

Finn \(V(20)\) og \(V'(20)\):

from sympy import symbols, diff
t = symbols('t')

# Definerer modellen
def V(t):
    return 330 * 1.1787**t

# deriverer med sympy
V_deriv = diff(V(t), t)

# Finn V(20) og V'(20)
V_20 = V(20)
V_deriv_20 = V_deriv.subs(t, 20)

print(f"V(20) = {V_20:.2f}")
print(f"V'(20) = {V_deriv_20:.2f}")

V(20) = 8842.59
V'(20) = 1453.83

Dette betyr at i 2018 var verdien av oljefondet omlag 8843 milliardar kroner, og at verdien auka med omlag 1454 milliardar kroner per år i 2018.

C) Gjennomsnittleg vekstfart

Ser på gjennomsnittleg vekstfart i intervalla \([0,10]\) og \([16,26]\).

# Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [0, 10]
t1, t2 = 0, 10
gjennomsnitt_0_10 = (V(t2) - V(t1)) / (t2 - t1)

# Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [16, 26]
t3, t4 = 16, 26
gjennomsnitt_16_26 = (V(t4) - V(t3)) / (t4 - t3)

# Skriv ut resultatet
print(f"Gjennomsnittleg vekstfart i [0, 10]: {gjennomsnitt_0_10:.2f}")
print(f"Gjennomsnittleg vekstfart i [16, 26]: {gjennomsnitt_16_26:.2f}")

Gjennomsnittleg vekstfart i [0, 10]: 137.82
Gjennomsnittleg vekstfart i [16, 26]: 1913.26

Ser at den gjennomsnittlege vekstfarten i det siste intervallet er mykje høgare enn i det første.

Gjenbruk

CC BY 4.0